7178. Основание пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
, в которой AB=BC=a
, AD=2a
. Плоскости граней SAB
и SCD
перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани SAD
, проведённая из вершины S
, равна 2a
.
Ответ. a
.
Указание. Высота данной пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей SAB
и SCD
.
Решение. Заметим, что AD
и BC
— основания трапеции ABCD
, а AB
и CD
— её боковые стороны.
Поскольку каждая из плоскостей SAB
и SCD
перпендикулярна плоскости ABCD
, прямая пересечения плоскостей SAB
и SCD
перпендикулярна плоскости ABCD
. Поэтому, если H
— точка пересечения этой прямой с плоскостью ABCD
, то SH
— высота данной пирамиды.
Пусть SM
— высота треугольника ASD
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HM\perp AD
, т. е. HM
— высота равнобедренного треугольника AHD
, а так как BC\parallel AD
и BC=\frac{1}{2}AD
, то BC
— средняя линия треугольника AHD
, значит AH=DH=2a=AD
. Треугольник AHD
— равносторонний, поэтому
HM=AH\sin60^{\circ}=a\sqrt{3}.
Следовательно,
SH=\sqrt{AH^{2}-HM^{2}}=\sqrt{4a^{2}-3a^{2}}=a.