7180. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно 12. Точка K
лежит на продолжении ребра BC
на расстоянии, равном 9, от вершины C
. Точка L
ребра AB
удалена от A
на расстояние, равное 5. Точка M
делит отрезок A_{1}C_{1}
в отношении 1:3
, считая от A_{1}
. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K
, L
, M
.
Ответ. 156.
Указание. В сечении получится параллелограмм. Найдите его высоту.
Решение. Пусть прямая LK
пересекает ребро CD
в точке F
(рис. 1). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает основание A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по прямой a
, проходящей через точку M
параллельно LF
. Пусть прямая a
пересекает прямые A_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
в точках N
и E
соответственно, а точки L_{1}
, F_{1}
и K_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно L
, F
и K
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Обозначим \angle BKL=\angle B_{1}K_{1}L_{1}=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{BL}{BK}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3},~C_{1}F_{1}=CF=CK\tg\alpha=9\cdot\frac{1}{3}=3,~\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Обозначим F_{1}E=L_{1}N=x
(рис. 2). Тогда
A_{1}N=A_{1}L_{1}-L_{1}N=AL-L_{1}N=5-x,~C_{1}E=C_{1}F+F_{1}E=3+x,
\frac{A_{1}N}{C_{1}E}=\frac{A_{1}M}{MC_{1}}=\frac{1}{3},~\frac{5-x}{3+x}=\frac{1}{3},
откуда находим, что L_{1}N=x=3
. Тогда C_{1}E=6
, A_{1}N=2
.
Точки E
и N
лежат на сторонах C_{1}D_{1}
и A_{1}B_{1}
. Поэтому сечение данного куба плоскостью, проходящей через точки K
, L
и M
, — параллелограмм LFEN
.
Опустим перпендикуляр LH
из точки L
на прямую NE
(рис. 1). Тогда LH
— высота параллелограмма LFEN
. По теореме о трёх перпендикулярах L_{1}H\perp NE
. Из прямоугольного треугольника L_{1}HN
находим (рис. 2), что
L_{1}H=L_{1}N\cos\angle NL_{1}H=L_{1}N\cos\alpha=3\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}.
Значит,
LH=\sqrt{L_{1}L^{2}+L_{1}H^{2}}=\sqrt{144+\frac{81}{10}}=\frac{39}{\sqrt{10}}.
Опустим перпендикуляр FP
на AB
. Тогда
LP=BL-BP=7-3=4,
NE=LF=\sqrt{FP^{2}+LP^{2}}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}.
Следовательно,
S_{LFEN}=NE\cdot LH=\frac{4\sqrt{10}\cdot39}{\sqrt{10}}=156.