7182. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной a
. Высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна \frac{3a}{2}
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{a\sqrt{7}}{3}
.
Указание. Центр сферы лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр треугольника основания. Обозначьте через x
расстояние от центра сферы до плоскости основания и составьте уравнение относительно x
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, описанной около данной пирамиды ABCD
с высотой DK=\frac{3a}{2}
, K
— середина BC
, R
— радиус сферы, M
— центр правильного треугольника ABC
. Тогда точка O
лежит на перпендикуляре к плоскости ABC
, проходящем через точку M
. Обозначим OM=x
. Из прямоугольного треугольника OMA
находим, что
R^{2}=AM^{2}+OM^{2}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+x^{2}.
Прямые OM
и DK
перпендикулярны плоскости ABC
, поэтому они параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. В этой плоскости рассмотрим прямоугольную трапецию ODKM
, в которой
DK=\frac{3a}{2},~OD=R,~OM=x,~KM=\frac{1}{3}AK=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Опустим перпендикуляр ON
на KD
. В прямоугольном треугольнике DON
R^{2}=OD^{2}=ON^{2}+DN^{2}=KM^{2}+(DK-KN)^{2}=
=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{3a}{2}-x\right)^{2}.
Таким образом, имеем уравнение
\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+x^{2}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{3a}{2}-x\right)^{2},
откуда x=\frac{2a}{3}
. Следовательно,
R=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+x^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{4a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{7}}{3}.