7184. Дан правильный тетраэдр PABC
с ребром a
. Через точки C
, E
, M
, P
, где E
— середина AB
, а M
— середина AC
, проведена сфера. Найдите её радиус.
Ответ. \frac{a\sqrt{22}}{8}
.
Указание. Центр указанной сферы лежит на перпендикуляре к плоскости ABC
,
Решение. Центр O
указанной сферы радиуса R
равноудалён от точек E
, M
и C
, поэтому он лежит на перпендикуляре l
к плоскости EMC
(т. е. к плоскости основания ABC
тетраэдра), проходящем через центр описанной окружности треугольника EMC
. Если Q
— середина стороны BC
правильного треугольника ABC
, то QE=QM=QC
, т. е. Q
— центр окружности, проходящей через точки E
, M
и C
.
Пусть PH
— высота тетраэдра ABCD
. Тогда PH\parallel OQ
. Через параллельные прямые PH
и OQ
проведём плоскость. Обозначим OQ=x
. Опустим перпендикуляр OT
из вершины O
прямоугольной трапеции OQHP
на основание PH
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OTP
находим, что
R^{2}=OP^{2}=OT^{2}+TP^{2}=QH^{2}+(PH-TH)^{2}=
=QH^{2}+(PH-OQ)^{2}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(a\sqrt{\frac{2}{3}}-x\right)^{2},
а из прямоугольного треугольника OQC
—
R^{2}=OC^{2}=OQ^{2}+QC^{2}=x^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}.
Из уравнения
\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(a\sqrt{\frac{2}{3}}-x\right)^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}
находим, что x=\frac{a\sqrt{6}}{8}
. Следовательно,
R=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{8}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{22}}{8}.