7185. Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен трети произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.
Указание. Соединив центр вписанного в n
-угольную пирамиду шара со всеми её вершинами, разбейте данную пирамиду на n+1
пирамид, n
из которых — треугольные, и одна — n
-угольная.
Решение. Соединив центр O
вписанного в n
-угольную пирамиду шара радиуса r
со всеми её вершинами, разобьём данную пирамиду на n+1
пирамид, n
из которых — треугольные, и одна — n
-угольная. Высоты этих пирамид, проведённые из их общей вершины O
, равны радиусу шара.
Пусть V
— объём исходной пирамиды, S_{1}
, S_{2}
, …, S_{n}
— площади боковых граней, S_{0}
— площадь основания, S
— площадь полной поверхности. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{0}\cdot r+\frac{1}{3}S_{1}\cdot r+\frac{1}{3}S_{2}\cdot r+\ldots+\frac{1}{3}S_{n}\cdot r=
=\frac{1}{3}(S_{0}+S_{1}+S_{2}+\ldots+S_{n})\cdot r=\frac{1}{3}S\cdot r.
Примечание. 1. Утверждение верно для любого описанного многогранника, т. е. для многогранника, в который можно вписать сферу.
2. Пусть r
— радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD
объёма V
; r_{a}
— радиус сферы, касающейся грани BCD
и продолжений трёх других граней, S_{a}
— площадь грани BCD
. Аналогично определим S_{b}
, S_{c}
, S_{d}
. Тогда верны формулы
V=\frac{1}{3}(S_{a}+S_{b}+S_{c}+S_{d})r,~V=\frac{1}{3}(S_{b}+S_{c}+S_{d}-S_{a})r_{a}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.7, с. 35
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.7, с. 45
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 275, с. 43
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 31, с. 7