7189. Основание пирамиды — ромб со стороной 2 и острым углом 45^{\circ}
. Шар радиуса \sqrt{2}
касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{9}
.
Указание. Пусть данный шар касается боковых граней APB
, BPC
, CPD
и APD
пирамиды PABCD
соответственно в точках K
, L
, M
и N
, лежащих на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
ромба ABCD
. Боковые рёбра PK
, PL
, PM
и PN
четырёхугольной пирамиды PKLMN
равны, поэтому её высота PQ
проходит через через центр окружности, описанной около четырёхугольника KLMN
, которая совпадает с окружностью, вписанной в ромб ABCD
.
Решение. Пусть шар с центром O
касается боковых граней APB
, BPC
, CPD
и APD
пирамиды PABCD
соответственно в точках K
, L
, M
и N
, лежащих на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
ромба ABCD
, в котором \angle BAD=45^{\circ}
. Прямоугольные треугольники OKP
, OLP
, OMP
и ONP
равны по катету и гипотенузе, поэтому PK=PL=PM=PN
. Боковые рёбра PK
, PL
, PM
и PN
четырёхугольной пирамиды PKLMN
равны, поэтому её высота PQ
проходит через центр окружности, описанной около четырёхугольника KLMN
.
Плоскость основания ABCD
пересекает сферу по окружности, вписанной в ромб ABCD
. Центр этой окружности — точка пересечения диагоналей ромба, а так как эта окружность совпадает с описанной окружностью четырёхугольника KLMN
, то Q
— точка пересечения диагоналей ромба, т. е. центр вписанной в ромб окружности.
Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания ABCD
, также проходит через центр вписанной окружности ромба ABCD
, поэтому прямая PO
проходит через точку Q
.
Пусть BF
— высота ромба. Тогда отрезок BF
равен диаметру вписанной в ромб окружности. Поэтому
KQ=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}AB\cdot\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},
S_{ABCD}=AB^{2}\sin45^{\circ}=2\sqrt{2}.
В прямоугольном треугольнике OQK
катет KQ
равен половине гипотенузы OK
, поэтому \angle KOQ=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника PKQ
находим, что
PQ=KQ\tg\angle PQK=KQ\tg\angle KOQ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PQ=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1985, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 57