7189. Основание пирамиды — ромб со стороной 2 и острым углом
45^{\circ}
. Шар радиуса
\sqrt{2}
касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.
Ответ.
\frac{2\sqrt{3}}{9}
.
Указание. Пусть данный шар касается боковых граней
APB
,
BPC
,
CPD
и
APD
пирамиды
PABCD
соответственно в точках
K
,
L
,
M
и
N
, лежащих на сторонах
AB
,
BC
,
CD
и
AD
ромба
ABCD
. Боковые рёбра
PK
,
PL
,
PM
и
PN
четырёхугольной пирамиды
PKLMN
равны, поэтому её высота
PQ
проходит через через центр окружности, описанной около четырёхугольника
KLMN
, которая совпадает с окружностью, вписанной в ромб
ABCD
.
Решение. Пусть шар с центром
O
касается боковых граней
APB
,
BPC
,
CPD
и
APD
пирамиды
PABCD
соответственно в точках
K
,
L
,
M
и
N
, лежащих на сторонах
AB
,
BC
,
CD
и
AD
ромба
ABCD
, в котором
\angle BAD=45^{\circ}
. Прямоугольные треугольники
OKP
,
OLP
,
OMP
и
ONP
равны по катету и гипотенузе, поэтому
PK=PL=PM=PN
. Боковые рёбра
PK
,
PL
,
PM
и
PN
четырёхугольной пирамиды
PKLMN
равны, поэтому её высота
PQ
проходит через центр окружности, описанной около четырёхугольника
KLMN
.
Плоскость основания
ABCD
пересекает сферу по окружности, вписанной в ромб
ABCD
. Центр этой окружности — точка пересечения диагоналей ромба, а так как эта окружность совпадает с описанной окружностью четырёхугольника
KLMN
, то
Q
— точка пересечения диагоналей ромба, т. е. центр вписанной в ромб окружности.
Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания
ABCD
, также проходит через центр вписанной окружности ромба
ABCD
, поэтому прямая
PO
проходит через точку
Q
.
Пусть
BF
— высота ромба. Тогда отрезок
BF
равен диаметру вписанной в ромб окружности. Поэтому
KQ=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}AB\cdot\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},

S_{ABCD}=AB^{2}\sin45^{\circ}=2\sqrt{2}.

В прямоугольном треугольнике
OQK
катет
KQ
равен половине гипотенузы
OK
, поэтому
\angle KOQ=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника
PKQ
находим, что
PQ=KQ\tg\angle PQK=KQ\tg\angle KOQ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}.

Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PQ=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.