7191. В треугольной пирамиде ABCD
известно, что DC=9
, DB=AD
, а ребро AC
перпендикулярно грани ABD
. Сфера радиуса 2 касается грани ABC
, ребра DC
, а также грани DAB
, в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 36.
Указание. Если ABD
— основание пирамиды ABCD
, то CA
— её высота. Пусть K
— середина AB
, а Q
— точка касания данной сферы с плоскостью ABC
. Найдите QF
, CQ
и CK
, обозначьте AK=x
и составьте уравнение относительно x
.
Решение. Пусть C
— вершина, а ABD
— основание треугольной пирамиды CABD
(рис. 1); данная сфера с центром O
касается бокового ребра CD
в точке P
, основания ABD
— в точке M
(точка пересечения медиан равнобедренного треугольника ABC
), боковой грани ABC
— точке Q
.
Медиана DK
равнобедренного треугольника ABD
является его высотой, поэтому DK\perp AB
, а так как AC
— перпендикуляр к плоскости ABD
, то DK\perp AC
. Значит, прямая DK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ABC
. Следовательно, DK
— перпендикуляр к плоскости ABC
. Поскольку точка M
лежит на DK
, то MK
— также перпендикуляр к плоскости ABC
. Отрезок OQ
— радиус сферы, проведённый в точку касания с плоскостью ABC
, значит, OQ
— перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, прямые OQ
и MK
параллельны как перпендикуляры к одной и той же плоскости. Тогда четырёхугольник OMKQ
лежит в одной плоскости, у него три прямых угла, а две соседние стороны равны как радиусы одной сферы. Значит, OMKQ
— квадрат. Поэтому
KM=OM=2,~DM=2KM=4,~DP=DM=4,
CQ=CP=CD-DP=9-4=5.
Прямая DK
перпендикулярна плоскости ABC
, поэтому DK\perp CK
. По теореме Пифагора
CK=\sqrt{CD^{2}-DK^{2}}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
(рис. 2). Обозначим AK=KB=x
. Пусть F
— ортогональная проекция точки Q
на AC
. Тогда
CF=\sqrt{CQ^{2}-QF^{2}}=\sqrt{CQ^{2}-AK^{2}}=\sqrt{25-x^{2}},
AC=\sqrt{CK^{2}-AK^{2}}=\sqrt{45-x^{2}},
AC=AF+CF=KQ+CF,~\mbox{или}~\sqrt{45-x^{2}}=2+\sqrt{25-x^{2}}.
Из этого уравнения находим, что x=3
. Значит, AB=6
и AC=6
. Следовательно,
V_{CABD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot AC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot DK\cdot AC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot6=36.