7192. В треугольной пирамиде PABC
боковое ребро PB
перпендикулярно плоскости основания ABC
, PB=6
, AB=BC=\sqrt{15}
, AC=2\sqrt{3}
. Сфера, центр O
которой лежит на грани ABP
, касается плоскостей остальных граней пирамиды. Найдите расстояние от центра O
сферы до ребра AC
.
Ответ. \frac{24}{6+\sqrt{15}}
.
Указание. Найдите угол между гранями ABC
и APC
. Соединив центр O
сферы с вершинами пирамиды PABC
, разбейте пирамиду PABC
на три треугольные пирамиды с общей вершиной O
и основаниями APC
, BPC
и ABC
. Высота каждой из них, проведённая из вершины O
, равна радиусу сферы.
Решение. Пусть M
— середина AC
. Тогда BM\perp AC
и PM\perp AC
, поэтому BMP
— линейный угол двугранного угла между гранями ABC
и APC
. Обозначим \angle BMP=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{15-3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},
поэтому
\tg\alpha=\frac{BP}{BM}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3},
значит, \alpha=60^{\circ}
, а MP=2BM=4\sqrt{3}
.
Соединив центр O
сферы с вершинами пирамиды PABC
, разобьём пирамиду PABC
на три треугольные пирамиды с общей вершиной O
и основаниями APC
, BPC
и ABC
. Высота каждой из них, проведённая из вершины O
, равна радиусу r
сферы. Тогда
V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle APC}\cdot r+\frac{1}{3}S_{\triangle BPC}\cdot r+\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot r=
=\frac{1}{3}r(S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}+S_{\triangle ABC}),
откуда
r=\frac{3V_{PABC}}{S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}+S_{\triangle ABC}}=
=\frac{3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BM\cdot BP}{\frac{1}{2}AC\cdot PM+\frac{1}{2}BC\cdot BP+\frac{1}{2}AC\cdot BM}=
=\frac{\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot6}{\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{15}\cdot6+\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}}=
=\frac{36}{12+3\sqrt{15}+6}=\frac{36}{18+3\sqrt{15}}=\frac{12}{6+\sqrt{15}}.
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный гранями ABC
и ACP
, её центр O
лежит в биссекторной плоскости этого двугранного угла. Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую AC
— ребро рассматриваемого двугранного угла. Тогда
OM=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\sin30^{\circ}}=2r=\frac{24}{6+\sqrt{15}}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1981, вариант 2, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 54