7198. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер правильной n
-угольной пирамиды (n=3,4,6
), если сторона основания равна a
, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^{\circ}
.
Ответ. \frac{7a}{12}
и \frac{a}{6}
при n=3
; \frac{5a}{4\sqrt{3}}
и \frac{a\sqrt{3}}{6}
при n=4
; \frac{13a}{12}
и \frac{a}{2}
при n=6
.
Решение. 1. (n=3
). Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной сфер правильной пирамиды SABC
с вершиной S
, сторона AB
основания равна a
, SH
— высота SH
пирамиды, M
— середина AB
. Тогда \angle SMH=60^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника SMH
с катетом MH=\frac{1}{3}CM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}
находим, что
SH=MH\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\sqrt{3}=\frac{1}{2}a.
Центр O
сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью SMC
. Получим окружность радиуса R
с центром O
и треугольник SMC
, вершины S
и C
которого лежат на окружности. Продолжим SO
до пересечения с окружностью в точке S_{1}
. Отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника SCS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или
\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}a\cdot\left(2R-\frac{1}{2}a\right),
откуда находим, что R=\frac{7}{12}a
.
Центр Q
сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью SMC
. Получим окружность радиуса r
с центром Q
, вписанную в угол SMH
и касающуюся отрезка CM
в точке M
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
r=QH=MH\tg\frac{1}{2}\angle SMH=MH\tg30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{6}a.
2. (n=4
). Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной сфер правильной пирамиды SABCD
с вершиной S
, сторона AB
основания равна a
, SH
— высота SH
пирамиды, M
— середина AB
. Тогда \angle SMH=60^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника SMH
с катетом MH=\frac{a}{2}
находим, что
SH=MH\tg60^{\circ}=\frac{a}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Центр O
сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью ASC
. Получим окружность радиуса R
с центром O
, описанную около равнобедренного треугольника ASC
. Продолжим его высоту SH
до пересечения с окружностью в точке S_{1}
. Отрезок AH
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или
\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\left(2R-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),
откуда находим, что R=\frac{5a}{4\sqrt{3}}
.
Центр Q
сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки S
, M
и середину N
ребра CD
. Получим окружность радиуса r
с центром Q
, вписанную в равносторонний треугольник MSN
. Следовательно,
r=QH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
3. (n=6
). Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной сфер правильной пирамиды SABCDEF
с вершиной S
, сторона AB
основания равна a
, SH
— высота SH
пирамиды, M
— середина AB
. Тогда \angle SMH=60^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника SMH
с катетом MH=\frac{a\sqrt{3}}{2}
находим, что
SH=MH\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{2}a.
Центр O
сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью ASD
. Получим окружность радиуса R
с центром O
и вписанный в неё равнобедренный треугольник ASD
. Продолжим высоту SH
до пересечения с окружностью в точке S_{1}
. Отрезок AH
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или
a^{2}=\frac{3}{2}a\cdot\left(2R-\frac{3}{2}a\right),
откуда находим, что R=\frac{13}{12}a
.
Центр Q
сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки S
, M
и середину N
ребра DE
. Получим окружность радиуса r
, вписанную в равнобедренный треугольник MSN
. Центр Q
этой окружности лежит на биссектрисе MQ
, поэтому
r=QH=MH\tg\frac{1}{2}\angle SMH=MH\tg30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2}.