7202. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Найдите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через вершину C
и середины рёбер C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{3}{8}a^{2}
.
Указание. В сечении получился равнобедренный треугольник CMN
. Если K
— основание его высоты CK
, то точка K
делит диагональ квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в отношении \frac{C_{1}K}{A_{1}K}=\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер соответственно C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. В сечении получился равнобедренный треугольник CMN
. Если K
— точка пересечения отрезков MN
и A_{1}C_{1}
, то C_{1}K\perp MN
, а C_{1}K
— ортогональная проекция наклонной CK
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах CK\perp MN
, поэтому CK
— высота треугольника CMN
, а так как MN
— средняя линия треугольника B_{1}C_{1}D_{1}
, то
MN=\frac{1}{2}B_{1}D_{1}=\frac{1}{2}a\sqrt{2},~C_{1}K=\frac{1}{4}A_{1}C_{1}=\frac{1}{4}a\sqrt{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CC_{1}K
находим, что
CK=\sqrt{C_{1}C^{2}+C_{1}K^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{8}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle CMN}=\frac{1}{2}MN\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{8}.