7203. Все рёбра правильной треугольной призмы равны a
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через ребро основания и середину не параллельного ему ребра другого основания.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{19}}{16}
.
Указание. Искомое сечение — равнобедренная трапеция с основаниями a
и \frac{1}{2}a
.
Решение. Пусть M
— середина стороны B_{1}C_{1}
основания A_{1}B_{1}C_{1}
данной правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Поскольку секущая плоскость проходит через прямую AB
, параллельную плоскости грани A_{1}B_{1}C_{1}
, она пересекает плоскость верхнего основания A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, параллельной AB
, а значит, и A_{1}B_{1}
. Тогда прямая пересечения этих плоскостей проходит также через середину N
отрезка A_{1}C_{1}
. Поэтому MN
— средняя линия треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Искомое сечение — равнобедренная трапеция ANMB
с основаниями AB
и MN
, AB=a
, MN=\frac{1}{2}a
.
Пусть K
и L
— середины MN
и AB
соответственно, P
— ортогональная проекция точки L
на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда P
— середина A_{1}B_{1}
. Высоту KL
трапеции ANMB
находим из прямоугольного треугольника PKL
:
LP=A_{1}A=a,~KP=\frac{1}{2}C_{1}P=\frac{a\sqrt{3}}{4},
KL=\sqrt{PL^{2}+KP^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{3a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{19}}{4}.
Следовательно,
S_{ANMB}=\frac{1}{2}(AB+MN)\cdot KL=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{19}}{4}==\frac{3a^{2}\sqrt{19}}{16}.