7207. Через вершину правильной четырёхугольной пирамиды и середины двух соседних сторон основания проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания пирамиды равна a
, а боковое ребро равно 2a
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{29}}{8}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
, причём AB=a
, AP=2a
; O
— центр квадрата ABCD
, K
— точка пересечения MN
и BD
. Тогда OK
— ортогональная проекция наклонной PK
на плоскость ABCD
и OK\perp MN
. По теореме о трёх перпендикулярах PK\perp MN
, т. е. PK
— высота треугольника PMN
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
,
MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\sqrt{2},~OK=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}BD=\frac{1}{4}a\sqrt{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOP
и POK
находим, что
OP=\sqrt{AP^{2}-AO^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{1}{2}a\sqrt{14},
PK=\sqrt{OP^{2}+OK^{2}}=\sqrt{\frac{7a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{8}}=\frac{1}{4}a\sqrt{58}.
Следовательно,
S_{\triangle PMN}=\frac{1}{2}MN\cdot PK=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4}a\sqrt{58}=\frac{1}{8}a^{2}\sqrt{29}.