7208. Докажите, что если биссектрисы двух плоских углов трёхгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам.
Решение. На рёбрах OA
, OB
и OC
трёхгранного угла отложим единичные векторы \overrightarrow{OA_{1}}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{OB_{1}}=\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{c}
соответственно. Тогда концы векторов \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
и \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}
лежат на биссектрисах плоских углов соответственно AOB
, BOC
и AOC
.
Предположим, что перпендикулярны биссектрисы плоских углов AOB
и BOC
. Тогда
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=0,
или
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+1+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0.~
Значит,
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=
=1+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0,
(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}^{2}=
=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+1=0.
Следовательно, биссектриса плоского угла AOC
перпендикулярна биссектрисам плоских углов AOB
и BOC
.