7211. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a
. Через сторону основания и середину одного из противоположных боковых рёбер проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{11}}{16}
.
Указание. В сечении получится равнобедренная трапеция, основания которой равны a
и \frac{1}{2}a
.
Решение. Предположим, что плоскость проходит через сторону AB
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
и середину N
бокового ребра SC
.
Поскольку секущая плоскость и плоскость боковой грани DSC
проведены через параллельные прямые AB
и CD
соответственно и имеют общую точку N
, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым AB
и CD
и проходящей через точку N
.
Пусть M
— точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD
. Тогда точка M
— середина SD
, поэтому MN
— средняя линия треугольника DSC
, MN=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}a
.
Полученный в сечении четырёхугольник ABNM
— равнобедренная трапеция (равенство AM=BN
следует из равенства треугольников BNC
и AMD
). Найдём высоту этой трапеции.
Пусть Q
и L
— середины отрезков CD
и AB
, R
— точка пересечения апофемы SQ
с отрезком MN
, O
— центр основания данной пирамиды, P
— ортогональная проекция точки R
на плоскость основания ABCD
. Тогда RP
— средняя линия прямоугольного треугольника SOQ
, SO
— высота равнобедренного прямоугольного треугольника ASC
(AS=SC=a
, AC=a\sqrt{2})
. Поэтому
SO=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2},~RP=\frac{1}{2}SO=\frac{a\sqrt{2}}{4},
OP=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{4}a,~LP=LO+OP=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a=\frac{3}{4}a.
Высоту LR
трапеции ABNM
находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника LPR
:
LR=\sqrt{LP^{2}+RP^{2}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{16}+\frac{2a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}.
Следовательно,
S_{ABNM}=\frac{1}{2}(AB+MN)\cdot LR=\frac{3}{2}a\cdot\frac{1}{8}a\sqrt{11}=\frac{3a^{2}\sqrt{11}}{16}.