7213. Через середину ребра AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
, проведена плоскость, параллельная прямым BD_{1}
и A_{1}C_{1}
.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ DB_{1}
?
2) Найдите площадь полученного сечения.
Ответ. 1) \frac{3}{5}
; 2) \frac{7a^{2}\sqrt{6}}{16}
.
Решение. 1) Пусть M
— середина AB
. Плоскость грани ABCD
имеет с секущей плоскостью общую точку M
и проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости (так как AC\parallel A_{1}C_{1}
). Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку M
параллельно AC
. Если N
— точка пересечения этой прямой с ребром BC
, то MN
— средняя линия треугольника ABC
.
Пусть F
— точка пересечения прямых MN
и BD
. Плоскость прямоугольника BB_{1}D_{1}D
имеет с секущей плоскостью общую точку F
и проходит через прямую BD_{1}
, параллельную секущей плоскости. Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку F
параллельно BD_{1}
. Пусть эта прямая пересекает ребро DD_{1}
в точке K
, а диагональ DB_{1}
— в точке T
. Тогда T
— точка пересечения секущей плоскости с диагональю DB_{1}
.
Пусть G
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
, O
— точка пересечения диагоналей куба. Поскольку F
— середина отрезка BG
, \frac{DF}{BD}=\frac{3}{4}
, а так как FT\parallel BO
, то \frac{DT}{DO}=\frac{DF}{DB}=\frac{3}{4}
. Поэтому
\frac{DT}{DB_{1}}=\frac{DT}{2DO}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DT}{DO}=\frac{3}{8}.
Следовательно, \frac{DT}{TB_{1}}=\frac{3}{5}
.
2) Ясно, что угол \alpha
между секущей плоскостью и плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен углу BD_{1}B_{1}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{B_{1}D_{1}}{BD_{1}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Пусть M_{1}
и N_{1}
— ортогональные проекции точек M
и N
на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда M_{1}
и N_{1}
— середины отрезков A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
соответственно, а пятиугольник A_{1}M_{1}N_{1}C_{1}D_{1}
— ортогональная проекция пятиугольника сечения на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Поскольку M_{1}N_{1}
— средняя линия треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
,
S_{\triangle M_{1}B_{1}N_{1}}=\frac{1}{4}S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}},
S_{A_{1}M_{1}N_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{7}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{7a^{2}}{8}.
Следовательно, искомая площадь равна
\frac{S_{A_{1}M_{1}N_{1}C_{1}D_{1}}}{\cos\alpha}=\frac{7a^{2}}{8}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{7a^{2}\sqrt{6}}{16}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.20, с. 65