7214. Найдите объём параллелепипеда, все грани которого — равные ромбы со стороной a
и острым углом 60^{\circ}
.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}
.
Указание. Пусть ребро AA_{1}
данного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует угол в 60^{\circ}
с рёбрами AB
и AD
. Тогда треугольная пирамида A_{1}ABD
— правильный тетраэдр с ребром a
.
Решение. Пусть ребро AA_{1}
данного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует угол 60^{\circ}
с рёбрами AB
и AD
. Поскольку AA_{1}B
, AA_{1}D
и ABD
— равносторонние треугольники, треугольная пирамида A_{1}ABD
— правильный тетраэдр с ребром a
. Его высоту AO
находим из прямоугольного треугольника AOA_{1}
:
A_{1}O=\sqrt{AA_{1}^{2}-AO^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Поскольку A_{1}O
— высота данного параллелепипеда,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot A_{1}O=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}.