7216. Через диагональ куба, ребро которого равно a
, проведена плоскость, параллельная диагонали одной из граней куба. Найдите площадь полученного сечения.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}
.
Указание. В сечении получится ромб, диагонали которого равны a\sqrt{2}
и a\sqrt{3}
.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через диагональ A_{1}C
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
параллельно диагонали B_{1}D_{1}
квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда плоскость грани B_{1}BDD_{1}
пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной B_{1}D_{1}
.
Пусть M
и N
— точки пересечения этой прямой с рёбрами BB_{1}
и DD_{1}
соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей A_{1}M\parallel CN
и MC\parallel A_{1}N
. Поэтому четырёхугольник A_{1}MCN
— параллелограмм. Поскольку четырёхугольник B_{1}MND_{1}
— прямоугольник, MN=B_{1}D_{1}=a\sqrt{2}
.
Ортогональная проекция A_{1}C_{1}
диагонали A_{1}C
куба на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна B_{1}D_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах диагональ A_{1}C
перпендикулярна отрезку B_{1}D_{1}
, а следовательно, и отрезку MN
. Значит, диагонали параллелограмма A_{1}MNC
взаимно перпендикулярны, т. е. это ромб. Следовательно,
S_{A_{1}MCN}=\frac{1}{2}MN\cdot A_{1}C=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{6}.