7218. Найдите угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней правильной треугольной призмы, если отношение бокового ребра и ребра при основании равно: а) \sqrt{2}
; б) \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Ответ. а) 60^{\circ}
; б) 90^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— правильная треугольная призма с боковым ребром AA_{1}=h
и стороной основания AB=a
. Обозначим \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{h}
. Тогда
\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h},~\overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},
\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h})(\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=
=\overrightarrow{a}\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{h}^{2}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{h}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{h}=
=0-a^{2}+a^{2}\cos60^{\circ}+h^{2}+0+0=h^{2}-\frac{1}{2}a^{2},
AB_{1}=\sqrt{AB^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+h^{2}},
BC_{1}=\sqrt{BC^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+h^{2}}.
Следовательно, если угол между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равен \alpha
, то
\cos\alpha=\left|\frac{\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}}{AB_{1}\cdot BC_{1}}\right|=\left|\frac{h^{2}-\frac{1}{2}a^{2}}{a^{2}+h^{2}}\right|=\left|\frac{\left(\frac{h}{a}\right)^{2}-\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{h}{a}\right)^{2}}\right|.
а) Если \frac{h}{a}=\sqrt{2}
, то \cos\alpha=\left|\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2}\right|=\frac{1}{2}
. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
б) Если \frac{h}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
, то \cos\alpha=\left|\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}\right|=0
. Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.