7220. Докажите, что сумма квадратов двух любых скрещивающихся рёбер прямоугольного тетраэдра равна квадрату диаметра описанной сферы.
Указание. Достройте тетраэдр до прямоугольного параллелепипеда.
Решение. Пусть плоские углы при вершине тетраэдра ABCD
прямые. Обозначим BC=a
, BD=b
, AB=c
. Достроим тетраэдр до прямоугольного параллелепипеда с вершиной B
и рёбрами BC=a
, BD=b
, BA=c
, исходящими из этой вершины. Тогда сфера радиуса R
, описанная около параллелепипеда, — это сфера, описанная около тетраэдра ABCD
. Диагональ прямоугольного параллелепипеда есть диаметр этой сферы, поэтому a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}
. Следовательно,
CD^{2}+AB^{2}=(BC^{2}+BD^{2})+AB^{2}=a^{2}+b^{2}=c^{2}=4R^{2}.
Аналогично
AD^{2}+BC^{2}=4R^{2},~AC^{2}+BD^{2}=4R^{2}.