7222. Сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB
параллельно прямым BD
и AS
.
Ответ. \frac{5ab\sqrt{2}}{16}
.
Решение. Пусть M
— середина AB
. Секущая плоскость параллельна прямой BD
, лежащей в плоскости основания ABCD
, и имеет с плоскостью основания общую точку M
. Поэтому плоскость основания пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через точку M
параллельно BD
.
Если N
— точка пересечения этой прямой с ребром AD
, а O
— центр основания ABCD
, то N
— середина AD
, MN
— средняя линия треугольника ADB
, а точка R
пересечения MN
и AC
— середина AO
.
Секущая плоскость пересекается с плоскостью треугольника ASC
по прямой, параллельной AS
и проходящей через точку R
. Пусть эта прямая пересекает боковое ребро SC
в точке K
. Из подобия треугольников RKC
и ASC
следует, что \frac{RK}{AS}=\frac{CR}{AC}=\frac{3}{4}
. Поэтому RK=\frac{3}{4}AS=\frac{3}{4}b
.
Поскольку секущая плоскость проходит через прямую RK
, параллельную AS
, а следовательно, и плоскостям граней ASB
и ASD
, она пересекает эти плоскости по прямым, параллельным AS
и проходящим через точки M
и N
соответственно, т. е. по средним линиям треугольников ASB
и ASD
.
Пусть F
и E
— середины SB
и SD
. Тогда искомое сечение — пятиугольник MNEKF
, а MF=NE=\frac{1}{2}b
.
Поскольку NE\parallel AS
и MN\parallel BD,
а AS\perp BD
(по теореме о трёх перпендикулярах), то NE\perp MN
. Аналогично MF\perp MN
. Следовательно, RN
и RM
— высоты прямоугольных трапеций RNEK
и RMFK
. Тогда
S_{MNEKF}=2S_{RNEK}=2\cdot\frac{1}{2}(RK+NE)\cdot NR=
=(RK+NE)\cdot NR=\left(\frac{3}{4}b+\frac{1}{2}b\right)\cdot\frac{1}{4}a\sqrt{2}=\frac{5ab\sqrt{2}}{16}.