7223. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
.
1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB
параллельно плоскости SAD
.
2) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD
равна 16.
Ответ. 12.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.
Решение. 1) Пусть M
— середина ребра AB
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает плоскость грани ASB
по прямой, параллельной AS
, т. е. по средней линии MN
треугольника ASB
. Аналогично, секущая плоскость пересекает грани ABCD
и CSD
по прямым, параллельным AD
и SD
соответственно. Тогда точки N
, L
и K
пересечения секущей плоскости с рёбрами SB
, CD
и SC
— середины отрезков SB
, CD
и SC
соответственно, а искомое сечение — трапеция MNKL
.
2) Пусть прямые MN
и LK
, лежащие в секущей плоскости, пересекаются в точке Q
. Тогда точка Q
лежит на прямой пересечения плоскостей ASB
и CSD
, проведённых через две параллельные прямые AB
и CD
, т. е. на прямой, проходящей через точку S
параллельно прямым AB
и CD
.
Треугольник MQL
равен треугольнику ASD
(по трём сторонам), а NK
— средняя линия треугольника MQL
(так как NK\parallel ML
и NK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}ML
).
Треугольник NQK
подобен треугольнику MQL
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому
S_{\triangle NQK}=\frac{1}{4}S_{\triangle MQL}=\frac{1}{4}S_{\triangle ASD}=\frac{16}{4}=4.
Следовательно,
S_{MNKL}=S_{\triangle MQL}-S_{\triangle NQK}=16-4=12.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.18, с. 65