7224. Точки M
и N
лежат на рёбрах BC
и AA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Постройте точку пересечения прямой MN
с плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Указание. Проведите плоскость через прямую AA_{1}
и точку M
.
Решение. Проведём вспомогательную плоскость через прямую AA_{1}
и точку M
. Эта плоскость имеет с плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
общую точку M
и проходит через прямую AA_{1}
, параллельную плоскости грани BB_{1}C_{1}C
(так как AA_{1}\parallel BB_{1}
). Следовательно, прямая пересечения этих плоскостей параллельна AA_{1}
.
Пусть M_{1}
— точка пересечения этой прямой с ребром B_{1}C_{1}
, P
— точка пересечения прямых MN
и M_{1}A_{1}
, лежащих во вспомогательной плоскости. Поскольку прямая M_{1}A_{1}
лежит в плоскости основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, P
— искомая точка пересечения прямой MN
с плоскостью этого основания.