7225. Точки M
, N
и K
лежат на рёбрах соответственно BC
, AA_{1}
и C_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.
Решение. Рассмотрим случай, когда ни одна из точек M
, N
, K
не совпадает с вершиной параллелепипеда. Построим сначала точку P
пересечения прямой MN
с плоскостью грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Для этого проведём вспомогательную плоскость через прямую AA_{1}
и точку M
. Эта плоскость имеет с плоскостью грани BB_{1}C_{1}C
общую точку M
и проходит через прямую AA_{1}
, параллельную плоскости грани BB_{1}C_{1}C
(так как AA_{1}\parallel BB_{1}
). Следовательно, прямая пересечения этих плоскостей параллельна AA_{1}
.
Пусть M_{1}
— точка пересечения этой прямой с ребром B_{1}C_{1}
, P
— точка пересечения прямых MN
и M_{1}A_{1}
, лежащих во вспомогательной плоскости. Поскольку прямая M_{1}A_{1}
лежит в плоскости основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, P
— искомая точка пересечения прямой MN
с плоскостью этого основания.
Прямая PK
является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а точка E
пересечения этой прямой с ребром A_{1}D_{1}
— вершина искомого многоугольника сечения.
Продолжив отрезки EN
и AD
, лежащие в плоскости грани AA_{1}D_{1}D
, до их взаимного пересечения, получим точку Q
, в которой секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD
. Тогда точка F
пересечения прямых QM
и AB
также является вершиной многоугольника сечения. Аналогично находим точку H
пересечения секущей плоскости с ребром CC_{1}
. Таким образом, искомое сечение — шестиугольник MFNEKH
. Его противоположные стороны попарно параллельны.