7226. Через середину диагонали куба проведена плоскость, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно a
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Докажите, что в сечении получится правильный шестиугольник со стороной \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Через середину O
диагонали DB_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведём плоскость, перпендикулярную DB_{1}
. Рассмотрим прямую пересечения этой плоскости с плоскостью диагонального сечения BB_{1}D_{1}D
. Пусть прямая пересечения пересекает сторону BD
прямоугольника BB_{1}D_{1}D
в точке P
, а сторону B_{1}D_{2}
— в точке Q
. Тогда PQ\perp DB_{1}
. Из подобия прямоугольных треугольников DOP
и DBB_{1}
находим, что \frac{PD}{DO}=\frac{DB_{1}}{BD}
, откуда
PD=DO\cdot\frac{DB_{1}}{BD}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4},
значит, точка P
делит диагональ BD
квадрата ABCD
в отношении \frac{BP}{PD}=\frac{1}{3}
. Если L
— центр квадрата ABCD
, то
BP=\frac{1}{4}BD=\frac{1}{4}\cdot2BL=\frac{1}{2}BL,
т. е. P
— середина BL
.
Секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD
по прямой, проходящей через точку P
. Пусть F
и M
— точки пересечения этой прямой с AB
и BC
. Тогда FM\perp DB_{1}
, так как прямая FM
лежит в плоскости, перпендикулярной DB_{1}
. Прямая BD
— ортогональная проекция DB_{1}
на плоскость ABCD
, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах FM\perp BD
, а так как AC\perp BD
, то FM\parallel AC
. Кроме того, прямая FM
проходит через середину P
отрезка BL
, значит, FM
— средняя линия треугольника ABC
. Следовательно, FM=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Аналогично, секущая плоскость пересекает остальные грани куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по средним линиям соответствующих треугольников. Значит, сечение куба данной плоскостью — шестиугольник, все стороны которого равны \frac{a\sqrt{2}}{2}
. Все углы этого шестиугольника равны по 120^{\circ}
, так как его стороны соответственно параллельны диагоналям граней куба. Площадь такого шестиугольника в шесть раз больше площади равностороннего треугольника со сторонами, равными \frac{a\sqrt{2}}{2}
, т. е. равна
6\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}.