7228. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. На лучах C_{1}C
, C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
отложены соответственно отрезки C_{1}M
, C_{1}N
и C_{1}K
, равные \frac{5}{2}a
. Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точки M
, N
, K
и найдите площадь полученного сечения.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Прямые MK
и CD
лежат в плоскости грани DCC_{1}D_{1}
. Точка F
их пересечения лежит в секущей плоскости (так как она принадлежит прямой MK
, лежащей в этой плоскости) и в плоскости грани ABCD
(так как она принадлежит прямой CD
). Следовательно, точка F
расположена на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ABCD
.
Аналогично, точка E
пересечения прямых BC
и MN
также расположена на прямой пересечения этих плоскостей.
Таким образом, секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD
по прямой EF
.
Из подобия треугольников MCF
и MC_{1}K
следует, что
\frac{CF}{C_{1}K}=\frac{MC}{MC_{1}}=\frac{MC_{1}-CC_{1}}{MC_{1}}=\frac{\frac{5}{2}a-a}{\frac{5}{2}a}=\frac{3}{5},
CF=\frac{3}{5}C_{1}K=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{3}{2}a,
DF=CF-CD=\frac{3}{2}a-a=\frac{1}{2}a.
Аналогично, CE=\frac{3}{2}a
, BE=\frac{1}{2}a
. Следовательно, EF\parallel BD
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой EF
с рёбрами AB
и AD
. Тогда четырёхугольник BPFD
— параллелограмм. Поэтому BP=DF=\frac{1}{2}a
. Аналогично, DQ=BE=\frac{1}{2}a
. Следовательно, P
и Q
— середины AB
и AD
. Поэтому PQ
— средняя линия треугольника ABD
, PQ=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Точно так же построим точку R
пересечения секущей плоскости с ребром AA_{1}
и докажем, что R
— середина AA_{1}
и QR=PR=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Таким образом, построенное сечение — равносторонний треугольник PQR
со стороной \frac{a\sqrt{2}}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle PQR}=\frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}.