7229. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. На лучах C_{1}C
, C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
отложены отрезки C_{1}M
, C_{1}N
и C_{1}K
, равные соответственно \frac{5}{2}CC_{1}
, \frac{5}{2}C_{1}B_{1}
, \frac{5}{2}C_{1}D_{1}
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M
, N
, K
, делит объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
?
Ответ. 1:47
.
Указание. Секущая плоскость делит рёбра AD
, AB
и AA_{1}
пополам.
Решение. Решим эту задачу для произвольного параллелепипеда ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Прямые MK
и CD
лежат в плоскости грани DCC_{1}D_{1}
. Точка F
их пересечения лежит в секущей плоскости (так как она принадлежит прямой MK
, лежащей в этой плоскости) и в плоскости грани ABCD
(так как она принадлежит прямой CD
). Следовательно, точка F
расположена на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ABCD
. Аналогично, точка E
пересечения прямых BC
и MN
также расположена на прямой пересечения этих плоскостей. Таким образом, секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD
по прямой EF
.
Из подобия треугольников MCF
и MC_{1}K
следует, что
\frac{CF}{C_{1}K}=\frac{MC}{MC_{1}}=\frac{3}{5},
CF=\frac{3}{5}C_{1}K=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}C_{1}D_{1}=\frac{3}{2}C_{1}D_{1}=\frac{3}{2}CD,
DF=CF-CD=\frac{1}{2}CD.
Аналогично, CE=\frac{3}{2}BC
, BE=\frac{1}{2}BC
Следовательно, EF\parallel BD
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой EF
с рёбрами AB
и AD
. Тогда четырёхугольник BPFD
— параллелограмм. Поэтому BP=DF=\frac{1}{2}AB
. Аналогично, DQ=BE=\frac{1}{2}AD
. Следовательно, P
и Q
— середины AB
и AD
. Поэтому PQ
— средняя линия треугольника ABD
.
Точно так же построим точку R
пересечения секущей плоскости с ребром AA_{1}
и докажем, что R
— середина AA_{1}
.
Рассмотрим треугольную пирамиду APQR
. Она подобна пирамиде ADBA_{1}
с коэффициентом \frac{1}{2}
. Значит, объём пирамиды APQR
в 8 раз меньше объёма пирамиды ADBA_{1}
. Пусть h
— высота параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, проведённая из вершины A
, S
— площадь параллелограмма ABCD
, V
— объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда
V_{ADBA_{1}}=\frac{1}{3}S_{\triangle ADB}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot h=\frac{1}{6}V.
Поэтому
V_{APQR}=\frac{1}{8}V_{ADBA_{1}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{6}V=\frac{1}{48}V.
Следовательно, плоскость, проходящая через точки M
, N
, K
, делит объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в отношении \frac{1}{47}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1965, № 2, вариант 6
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — с. 281, № 2, вариант 6
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.17, с. 74