7233. Найдите отношение объёмов параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и тетраэдра ACB_{1}D_{1}
.
Ответ. 3.
Указание. Отнимите от объёма параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
сумму объёмов треугольных пирамид B_{1}ABC
, AA_{1}B_{1}D_{1}
, CB_{1}C_{1}D_{1}
и D_{1}ADC
.
Решение. Пусть S
— площадь основания ABCD
, h
— высота параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, опущенная на это основание, V
— объём параллелепипеда. Тогда
V_{B_{1}ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}Sh=\frac{1}{6}Sh=\frac{1}{6}V.
Аналогично докажем, что
V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}=V_{CB_{1}C_{1}D_{1}}=V_{D_{1}ADC}=\frac{1}{6}V.
Значит,
V_{ACB_{1}D_{1}}=V-V_{B_{1}ABC}-V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}-V_{CB_{1}C_{1}D_{1}}-V_{D_{1}ADC}=
=V-4\cdot\frac{1}{6}V=V-\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V.
Следовательно,
\frac{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{V_{ACB_{1}D_{1}}}=3.