7235. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер любой треугольной пирамиды, делит её объём пополам.
Указание. Геометрическое место середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых AC
и BD
есть плоскость, параллельная прямым AC
и BD
и проходящая через середину одного из таких отрезков.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через середины N
и M
рёбер AB
и CD
соответственно и пересекает рёбра AC
и BD
соответственно в точках P
и Q
. Ясно, что пирамиды DANC
и DBNC
с общей вершиной D
равновелики. Докажем, что пирамиды DQMN
(с вершиной D
) и CPMN
(с вершиной C
) также равновелики. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
В самом деле, поскольку точка M
— середина отрезка CD
, расстояния от концов C
и D
этого отрезка до плоскости четырёхугольника MPNQ
равны между собой, т. е. высоты пирамид CPMN
и DQMN
, проведённые из их вершин C
и D
, равны между собой. Осталось доказать, что четырёхугольник MPQN
делится диагональю MN
на два равновеликих треугольника PMN
и QMN
. Для этого достаточно установить, что вторая диагональ PQ
делится диагональю MN
пополам.
Первый способ. Рассмотрим скрещивающиеся прямые AC
и BD
. Концы A
, B
и C
, D
отрезков AB
и CD
принадлежат соответственно этим прямым. Точки N
и M
— середины этих отрезков — принадлежат геометрическому месту середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых AC
и BD
, т. е. плоскости, параллельной прямым AC
и BD
, проходящей через середину одного из таких отрезков. Поэтому прямая MN
лежит в этой плоскости.
Поскольку отрезок PQ
также один из таких отрезков, точка F
его пересечения с прямой MN
— середина отрезка PQ
.
Следовательно, точки P
и Q
равноудалены от прямой MN
. Тогда треугольники PMN
и QMN
с общим основанием MN
и равными высотами, опущенными на это основание, равновелики. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим проекцию данного тетраэдра на произвольную плоскость, не параллельную прямой MN
. В качестве проектирующей прямой возьмём прямую MN
. Тогда точки M
, N
и F
перейдут в одну и ту же точку. Обозначим её M'
. Если A'
и B'
— проекции точек A
и B
соответственно, то из свойств параллельных проекций следует, что M'
— середина отрезка A'B'
. Аналогично, M'
— середина C'D'
, где C'
и D'
— проекции точек C
и D
соответственно. Тогда четырёхугольник A'C'B'D'
— параллелограмм, т. е. его диагонали A'B'
и C'D'
делятся точкой пересечения M'
пополам. Если P'
и Q'
— проекции соответственно точек P
и Q
, то отрезок P'Q'
проходит через точку M'
и делится ею пополам. Значит, точка F
— середина PQ
.
Примечание. Bobillier, 1827.