7236. В каком отношении делит объём куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении: а) 2:1
; б) 3:1
?
Ответ. 1:5
; 9:119
.
Решение. Известно, что плоскость, проходящая через концы трёх рёбер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, делит диагональ параллелепипеда, исходящую из этой вершины, в отношении 1:2
. Кроме того, если параллелепипед — куб, то эта плоскость перпендикулярна указанной диагонали.
Пусть объём куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен V
.
1) Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A_{1}
, B
и C_{1}
. Эта плоскость перпендикулярна диагонали DB_{1}
и делит её в отношении 1:2
, т. е., если P
— точка пересечения диагонали с указанной плоскостью, то B_{1}P:PD=1:2
. Тогда объём отсечённого тетраэдра A_{1}BC_{1}B_{1}
равен \frac{1}{6}V
. Следовательно, искомое отношение равно \frac{1}{5}
.
2) Плоскость \alpha
, перпендикулярная диагонали DB_{1}
и делящая диагональ точкой Q
в отношении B_{1}Q:QD=1:3
, параллельна плоскости A_{1}BC_{1}
. Значит, плоскость \alpha
отсекает от куба тетраэдр, подобный тетраэдру A_{1}BC_{1}B_{1}
, причём коэффициент подобия равен \frac{B_{1}Q}{B_{1}P}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}
. Поэтому объём тетраэдра, отсекаемого плоскостью \alpha
, равен \left(\frac{3}{4}\right)^{3}\cdot\frac{1}{6}V=\frac{9}{128}
. Следовательно, плоскость \alpha
делит объём куба в отношении \frac{9}{128-9}=\frac{9}{119}
.