7237. Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до противолежащего ребра.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— треугольная призма с основаниями ABC
, A_{1}B_{1}C_{1}
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Достроим её основания до параллелограммов ABDC
и A_{1}B_{1}D_{1}C_{1}
и рассмотрим параллелепипед ABDCA_{1}B_{1}D_{1}C_{1}
(AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel DD_{1}\parallel CC_{1})
. Если его грань ABB_{1}A_{1}
— основание, то высота равна расстоянию между параллельными плоскостями ABB_{1}A_{1}
и CDD_{1}C_{1}
, т. е. расстоянию h
между прямой CC_{1}
и параллельной ей плоскостью ABB_{1}A_{1}
. Объём параллелепипеда равен S_{ABB_{1}A_{1}}\cdot h
, а объём данной призмы равен половине объёма параллелепипеда. Что и требовалось доказать.