7240. Грани ABC
и ABD
тетраэдра ABCD
равновелики. Докажите, что общий перпендикуляр прямых AB
и CD
проходит через середину ребра AB
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию тетраэдра ABCD
на произвольную плоскость, перпендикулярную AB
.
Решение. Пусть MN
— общий перпендикуляр прямых AB
и CD
, причём точка M
лежит на прямой CD
, а N
— на прямой AB
. Проведём высоты CC_{1}
и DD_{1}
треугольников ABC
и ABD
. Рассмотрим ортогональную проекцию A'C'D'
тетраэдра ABCD
на плоскость, перпендикулярную AB
, где A'
— проекция точек A
, B
, N
, C_{1}
и D_{1}
; C'
— проекция вершины C
, D'
— проекция вершины D
, M'
— проекция точки M
.
Из равенства площадей треугольников ABC
и ABD
, следует равенство их высот CC_{1}
и DD_{1}
, опущенных на общую сторону CD
, а значит, и равенство ортогональных проекций C'A'
и D'A'
этих высот на плоскость, перпендикулярную AB
. Значит, треугольник A'B'C'
равнобедренный.
Наклонная MN
к плоскости проекций перпендикулярна прямой CD
, а значит, и к параллельной ей прямой C'D'
, лежащей в плоскости проекций. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах A'M'\perp C'D'
, т. е. A'M'
— высота равнобедренного треугольника A'B'C'
. Значит, M'
— середина C'D'
, а так как M'
— проекция точки M
отрезка AB
, то M
— середина AB
. Что и требовалось доказать.