7244. На боковых рёбрах PA
, PB
, PC
(или на их продолжениях) треугольной пирамиды PABC
взяты точки M
, N
, K
соответственно. Докажите, что отношение объёмов пирамид PMNK
и PABC
равно
\frac{PM}{PA}\cdot\frac{PN}{PB}\cdot\frac{PK}{PC}.
Указание. Пусть AH
— высота треугольной пирамиды ABCP
с основанием BCP
, MQ
— высота пирамиды MKNP
с основанием PKN
. Тогда \frac{MQ}{AH}=\frac{PM}{PA}
.
Решение. Пусть AH
— высота треугольной пирамиды ABCP
с основанием BCP
, MQ
— высота пирамиды MKNP
с основанием PKN
. Тогда точка Q
лежит на прямой PH
и MQ\parallel AH
. Из подобия треугольников PMQ
и PAH
следует, что \frac{MQ}{AH}=\frac{PM}{PA}
. Следовательно,
\frac{V_{PMNK}}{V_{PABC}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle PKN}\cdot MQ}{\frac{1}{3}S_{\triangle PBC}\cdot AH}=\frac{S_{\triangle PKN}}{S_{\triangle PBC}}\cdot\frac{MQ}{AH}=
=\frac{\frac{1}{2}PK\cdot PN\sin\angle BPC}{\frac{1}{2}PC\cdot PB\sin\angle BPC}\cdot\frac{MQ}{AH}=\frac{PK}{PC}\cdot\frac{PN}{PB}\cdot\frac{PM}{PA}.