7246. Основание пирамиды PABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка N
— середина ребра AP
, точка K
— середина медианы PL
треугольника BPC
, точка M
лежит на ребре PB
, причём PM=5MB
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M
, N
, K
, делит объём пирамиды PABCD
?
Ответ. 25:227
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит рёбра PC
и PD
пирамиды PABCD
, и рассмотрите треугольные пирамиды PABD
и PBCD
.
Решение. Плоскости граней APD
и BPC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
и имеют общую точку P
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку P
параллельно прямым AD
и BC
. Обозначим BC=AD=a
.
Рассмотрим плоскость грани BPC
. Пусть продолжение отрезка MK
пересекает прямую l
в точке T
, прямую PC
— в точке F
, а прямую BC
— в точке G
. Обозначим BG=x
. Из подобия треугольников PMT
и BMG
находим, что
PT=BG\cdot\frac{PM}{MB}=5x.
Из равенства треугольников PKT
и LKG
следует, что
PT=LG=x+\frac{1}{2}a.
Из уравнения x+\frac{1}{2}a=5x
находим, что x=\frac{1}{8}a
. Значит,
PT=\frac{5}{8}a,~CG=BC+BG=a+x=\frac{9}{8}a.
Из подобия треугольников PFT
и CFG
находим, что
\frac{PF}{CF}=\frac{PT}{CG}=\frac{\frac{5}{8}a}{\frac{9}{8}a}=\frac{5}{9}.
Следовательно, \frac{PF}{PC}=\frac{5}{14}
.
Рассмотрим плоскость грани APD
. Пусть прямая TN
пересекает ребро PD
в точке E
, а прямую AD
— в точке H
. Из равенства треугольников PNT
и ANH
следует, что AH=PT=\frac{5}{8}a
. Из подобия треугольников PET
и DEH
находим, что
\frac{PE}{ED}=\frac{PT}{DH}=\frac{PT}{AD+AH}=\frac{\frac{5}{8}a}{a+\frac{5}{8}a}=\frac{5}{13}.
Следовательно, \frac{PE}{PD}=\frac{5}{18}
.
Обозначим через V
объём пирамиды PABCD
. Тогда объёмы треугольных пирамид PABD
и PBCD
равны \frac{1}{2}V
. Далее имеем:
V_{PMNE}=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PN}{PA}\cdot\frac{PE}{PD}\cdot V_{PABD}=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{2}V,
V_{PMFE}=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PE}{PD}\cdot\frac{PF}{PC}\cdot V_{PBCD}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{1}{2}V,
V_{PMFEN}=V_{PMNE}+V_{PMFE}=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{2}V+\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{1}{2}V=
=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{14}\right)V=\frac{25}{252}V.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы многогранников, на которые плоскость MNK
делит пирамиду ABCD
. Тогда
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{25}{252-25}=\frac{25}{227}.