7247. На рёбрах BC
и DC
треугольной пирамиды ABCD
взяты соответственно точки N
и K
, причём CN=2BN
, DK:KC=3:2
. Известно, что M
— точка пересечения медиан треугольника ABD
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки M
, N
, K
, делит объём пирамиды ABCD
?
Ответ. 37:68
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит рёбра AD
и AB
пирамиды ABCD
, и рассмотрите треугольные пирамиды DABN
и DACN
.
Решение. Обозначим BD=a
. Рассмотрим плоскость грани BCD
(рис. 2). Через точку C
проведём прямую l
, параллельную BD
. Пусть продолжение отрезка KN
пересекает прямую l
в точке T
, а прямую BD
— в точке E
. Обозначим BE=x
. Из подобия треугольников TKC
и EKD
находим, что
CT=DE\cdot\frac{CK}{KD}=\frac{2}{3}(a+x).
Из подобия треугольников TNC
и ENB
следует, что
CT=BE\cdot\frac{CN}{NB}=2x.
Из уравнения \frac{2}{3}(a+x)=2x
находим, что
BE=x=\frac{1}{2}a,~DE=DB+BE=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a.
Рассмотрим плоскость грани ABD
(рис. 3). Через точку A
проведём прямую m
, параллельную BD
. Пусть прямая EM
пересекает прямую m
в точке G
, ребро AB
— в точке Q
, ребро AD
— в точке F
, а продолжение медианы DP
треугольника ABD
пересекает прямую m
в точке H
. Из равенства треугольников BPD
и APH
находим, что AH=DB=a
, а так как M
— точка пересечения медиан треугольника ABD
, то
\frac{DM}{MH}=\frac{DM}{MP+PH}=\frac{DM}{\frac{1}{2}DM+\frac{3}{2}DM}=\frac{1}{2}.
Из подобия треугольников GMH
и EMD
следует, что
GH=DE\cdot\frac{MH}{DM}=2\cdot\frac{3}{2}a=3a,
поэтому AG=GH-AH=3a-a=2a
. Из подобия треугольников AFG
и DFE
следует, что
\frac{AF}{FD}=\frac{AG}{DE}=\frac{2a}{\frac{3}{2}a}=\frac{4}{3},
а из подобия треугольников BQE
и AQG
—
\frac{BQ}{QA}=\frac{BE}{AG}=\frac{\frac{1}{2}a}{2a}=\frac{1}{4}.
Плоскость ADN
(рис. 1) делит объём V
данной пирамиды в отношении 1:2
, поэтому V_{DABN}=\frac{1}{3}V
и V_{DACN}=\frac{2}{3}V
. Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD
, AB
и AN
треугольной пирамиды DABN
в точках F
, Q
и N
, поэтому
V_{AFQN}=\frac{AF}{AD}\cdot\frac{AQ}{AB}\cdot\frac{AN}{AN}\cdot V_{DABN}=\frac{4}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{16}{105}V.
Тогда объём многогранника DBNQF
равен \frac{1}{3}V-\frac{16}{105}V=\frac{19}{105}V
.
Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA
, DC
и DN
треугольной пирамиды DACN
в точках F
, K
и N
, поэтому
V_{DFKN}=\frac{DF}{DA}\cdot\frac{DK}{DC}\cdot\frac{DN}{DN}\cdot V_{DACN}=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}V=\frac{6}{35}V.
Значит, объём многогранника DFQNK
равен
\frac{19}{105}V+\frac{6}{35}V=\frac{37}{105}V.
Тогда объём остальной части пирамиды ABCD
равен
V-\frac{37}{105}V=\frac{68}{105}.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{37}{68}
.