7248. Основание пирамиды PABCD
— параллелограмм ABCD
. На рёбрах AB
и PC
взяты соответственно точки K
и M
, причём AK:KB=CM:MP=1:2
. В каком отношении плоскость, проходящая через точки K
и M
параллельно прямой BD
, делит объём пирамиды PABCD
?
Ответ. 11:7
.
Указание. Найдите отношения, в которых секущая плоскость делит боковые рёбра PB
и DP
.
Решение. Плоскость основания ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно BD
. Пусть L
— точка пересечения прямой l
со стороной AD
параллелограмма ABCD
. Тогда \frac{AL}{LD}=\frac{AK}{KB}=\frac{1}{2}
.
Пусть F
и E
— точки пересечения прямой l
с продолжениями BC
и CD
соответственно. Обозначим BC=AD=3a
. Из подобия треугольников BKF
и AKL
находим, что BF=AL\cdot\frac{BK}{AK}=2a
, значит, Значит, BF:BC=2:3
.
Пусть прямые FM
и PB
пересекаются в точке N
, а прямые EM
и PD
— в точке Q
. Через точку B
проведём прямую, параллельную FM
. Пусть она пересекает ребро PC
в точке T
. По теореме о пропорциональных отрезках MT:TC=BF:BC=2:3
, поэтому
MT=\frac{2}{5}CM=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}PM=\frac{1}{5}PM,
значит, BN:NP=MT:PM=1:5
. Аналогично DQ:PQ=1:5
.
Пусть h
— высота данной пирамиды, S
— площадь её основания, V
— объём. Тогда высота треугольной пирамиды MCFE
с вершиной M
равна \frac{1}{3}h
, а высоты треугольных пирамид NBFK
и QDEL
с вершинами N
и Q
равны \frac{1}{6}h
. Далее имеем:
S_{\triangle AKL}=\frac{1}{9}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{18}S,
S_{\triangle DEL}=S_{\triangle BFK}=4S_{\triangle AKL}=\frac{2}{9}S,
S_{\triangle CFE}=S_{ABCD}-S_{\triangle AKL}+2S_{\triangle BFK}=S-\frac{1}{18}S+\frac{4}{9}S=\frac{25}{18}S.
Значит,
V_{MCFE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CFE}\cdot\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{18}S\cdot\frac{1}{3}h=\frac{25}{54}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{25}{54}V,
V_{NBFK}=\frac{1}{3}S_{\triangle BFK}\cdot\frac{1}{6}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{9}S\cdot\frac{1}{6}h=\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{27}V,
V_{CBKLDQMN}=V_{MCFE}-2V_{NBFK}=\frac{25}{54}V-\frac{2}{27}V=\frac{21}{54}V=\frac{7}{18}V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём данной пирамиды в отношении 11:7
.