7251. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите углы между прямыми:
а) AA_{1}
и BD_{1}
;
б) BD_{1}
и DC_{1}
;
в) AD_{1}
и DC_{1}
.
Ответ. а) \arccos\frac{1}{\sqrt{3}}=\arctg\sqrt{2}
; б) 90^{\circ}
; в) 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. а) Пусть ребро куба равно a
. Поскольку прямая AA_{1}
параллельна прямой BB_{1}
(рис. 1), то угол между прямыми AA_{1}
и BD_{1}
равен углу между прямыми BB_{1}
и BD_{1}
, т. е. углу B_{1}BD_{1}
. Из прямоугольного треугольника B_{1}BD_{1}
находим, что
\cos\angle B_{1}BD_{1}=\frac{BB_{1}}{BD_{1}}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
б) Поскольку BC
— перпендикуляр к плоскости DD_{1}C_{1}C
(рис. 2), прямая CD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на плоскость DD_{1}C_{1}C
, а так как CD_{1}\perp DC_{1}
(как диагонали квадрата DD_{1}C_{1}C
), то по теореме о трёх перпендикулярах BD_{1}\perp DC_{1}
, т. е. угол между прямыми BD_{1}
и DC_{1}
равен 90^{\circ}
.
в) Поскольку прямая AB_{1}
параллельна прямой DC_{1}
(рис. 3), то угол между прямыми AD_{1}
и DC_{1}
равен углу между прямыми AB_{1}
и AD_{1}
, т. е. углу B_{1}AD_{1}
, а так как треугольник B_{1}AD_{1}
— равносторонний, то \angle B_{1}AD_{1}=60^{\circ}
.
Второй способ. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
, x=y=z=a
. Тогда
\overrightarrow{BD_{1}}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z},\overrightarrow{DC_{1}}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z},\overrightarrow{AD_{1}}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}.
Если \alpha
, \beta
и \gamma
— искомые углы, то
\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}}{AA_{1}\cdot BD_{1}}=\frac{\overrightarrow{z}(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})}{a\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}}=
=\frac{-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}+\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}+\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z}}{a^{2}\sqrt{3}}=\frac{0+0+a^{2}}{a^{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
\cos\beta=\frac{\overrightarrow{BD_{1}}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}}{BD_{1}\cdot DC_{1}}=\frac{(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})}{\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+a^{2}}}=
=\frac{(-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z})}{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{-a^{2}+a^{2}}{a^{2}\sqrt{6}}=0,
\cos\gamma=\frac{\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}}{AD_{1}\cdot DC_{1}}=\frac{(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+a^{2}}}=\frac{\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z}}{2a^{2}}=\frac{a^{2}}{2a^{2}}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}},~\beta=90^{\circ},~\gamma=60^{\circ}.