7255. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. На отрезках AB_{1}
и BC_{1}
взяты точки P
и Q
, причём AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1
. Докажите, что отрезок PQ
перпендикулярен прямым AB_{1}
и C_{1}B
, и найдите его длину, если ребро куба равно a
.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{3}}
.
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
, x=y=z=a
. Тогда
\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z},~\overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z},
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}+\overrightarrow{C_{1}Q}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC_{1}}=
=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})+\overrightarrow{y}-\frac{2}{3}(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{3}\overrightarrow{y}-\frac{1}{3}\overrightarrow{z}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}).
Поэтому
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}(a^{2}-a^{2})=0
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{C_{1}B}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z})=\frac{1}{3}(a^{2}-a^{2})=0.
Следовательно, PQ\perp AB_{1}
и PQ\perp C_{1}B
. Далее имеем:
PQ^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{x}^{2}+\overrightarrow{y}^{2}+\overrightarrow{z}^{2})=\frac{1}{9}(a^{2}+a^{2}+a^{2})=\frac{1}{3}a^{2}.
Следовательно, PQ=\frac{a}{\sqrt{3}}
.