7257. Докажите, что для любых четырёх точек пространства верно равенство
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0.
Решение. \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=
=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=
=(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC})=
=\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})+\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=
=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=0.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 443, с. 68