7261. Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвёртый ненулевой вектор, перпендикулярный трём данным?
Ответ. Нет.
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Предположим, что существует ненулевой вектор \overrightarrow{d}
, перпендикулярный каждому из трёх некомпланарных векторов \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
. Поскольку векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
некомпланарны, существуют такие числа x
, y
и z
, что
\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c},
поэтому
\overrightarrow{d}^{2}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{d}\cdot(x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c})=x(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{a})+y(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b})+z(\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c})=
=0+0+0=0,
что невозможно, так как \overrightarrow{d}^{2}\gt0
.