7262. На диагоналях D_{1}A
, A_{1}B
, B_{1}C
, C_{1}D
граней куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты соответственно точки M
, N
, P
, Q
, причём
D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu,
а прямые MN
и PQ
взаимно перпендикулярны. Найдите \mu
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Указание. Примените скалярное произведение векторов.
Решение. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
, x=y=z=a
. Тогда
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}N}=\mu\overrightarrow{AD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}A_{1}}+(1-\mu)\overrightarrow{A_{1}B}=
=\mu(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})-\overrightarrow{y}+(1-\mu)(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z})=(1-\mu)\overrightarrow{x}+(\mu-1)\overrightarrow{y}+(2\mu-1)\overrightarrow{z},
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}+\overrightarrow{C_{1}Q}=\mu\overrightarrow{CB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}+(1-\mu)\overrightarrow{C_{1}D}=
=\mu(-\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})+\overrightarrow{y}+(1-\mu)(-\overrightarrow{x}-\overrightarrow{z})=(\mu-1)\overrightarrow{x}+(1-\mu)\overrightarrow{y}+(2\mu-1)\overrightarrow{z}.
Поскольку MN\perp PQ
, имеем:
\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PQ}=((1-\mu)\overrightarrow{x}+(\mu-1)\overrightarrow{y}+(2\mu-1)\overrightarrow{z})((\mu-1)\overrightarrow{x}+(1-\mu)\overrightarrow{y}+(2\mu-1)\overrightarrow{z})=
=-(\mu-1)^{2}a^{2}-(\mu-1)^{2}a^{2}+(2\mu-1)^{2}a^{2}=
=(-(\mu-1)^{2}-(\mu-1)^{2}+(2\mu-1)^{2})a^{2}=
=(-2\mu^{2}+4\mu-2+1-4\mu+4\mu^{2})a^{2}=(2\mu^{2}-1)a^{2}=0,
откуда находим, что |\mu|=\frac{1}{\sqrt{2}}
, а так как \mu\gt0
, то \mu=\frac{1}{\sqrt{2}}
.