7263. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны a
. Рассматриваются отрезки с концами на прямых AB_{1}
и BC_{1}
, перпендикулярные прямой AC_{1}
. Найдите наименьшую длину таких отрезков.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Обозначим \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
(x=y=z=a)
, \frac{AM}{AB_{1}}=\alpha
, \frac{BN}{BC_{1}}=\beta
. Тогда
\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z},~\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\alpha\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{BC_{1}}=
=-\alpha(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z})+\overrightarrow{x}+\beta(-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=-(\alpha+\beta-1)\overrightarrow{x}+\beta\overrightarrow{y}+(\beta-\alpha)\overrightarrow{z}.
Из условия задачи следует, что \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC_{1}}=0
. Кроме того,
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=xy\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}a^{2},~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}=\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=0,
поэтому
(-(\alpha+\beta+1)\overrightarrow{x}+\beta\overrightarrow{y}+(\beta-\alpha)\overrightarrow{z})(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})=-\frac{1}{2}(\alpha+\beta-1)a^{2}+\beta a^{2}+(\beta-\alpha)a^{2}=
=\left(-\frac{1}{2}(\alpha+\beta-1)+\beta+(\beta-\alpha)\right)a^{2}=\frac{1}{2}(3\beta-3\alpha+1)a^{2}=\frac{3}{2}\left(\beta-\alpha+\frac{1}{3}\right)a^{2}=0,
откуда \beta=\alpha-\frac{1}{3}
. Таким образом,
\overrightarrow{MN}=-\left(2\alpha-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{x}+\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{y}-\frac{1}{3}\overrightarrow{z},
значит,
MN^{2}=\left(-\left(2\alpha-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{x}+\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{y}-\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)^{2}=
=\left(2\alpha-\frac{4}{3}\right)^{2}a^{2}+\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)^{2}a^{2}+\frac{1}{9}a^{2}-2\left(2\alpha-\frac{4}{3}\right)\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}a^{2}=
=\left(4\alpha^{2}-\frac{16}{3}+\frac{16}{9}+\alpha^{2}-\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-2\alpha^{2}+2\alpha-\frac{4}{9}\right)a^{2}=
=\left(3\alpha^{2}-4\alpha+\frac{14}{9}\right)a^{2}=\left(3\left(\alpha^{2}-2\cdot\frac{2}{3}\alpha+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}\right)+\frac{14}{9}\right)a^{2}=
=\left(3\left(\alpha-\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{4}{3}+\frac{14}{9}\right)a^{2}=\left(3\left(\alpha-\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{2}{9}\right)a^{2}\geqslant\frac{2}{9}a^{2},
причём равенство достигается при \alpha=\frac{2}{3}
. Следовательно, наименьшая длина равна \frac{a\sqrt{2}}{3}
.