7264. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
. На диагоналях D_{1}A
и A_{1}B
взяты соответственно точки M
и N
, причём D_{1}M:D_{1}A=NB:A_{1}B=1:3
. Найдите расстояние от вершины C
до прямой MN
.
Ответ. \frac{a\sqrt{10}}{3}
.
Решение. Обозначим \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{z}
(x=y=z=a)
, Тогда
\overrightarrow{NM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C
на прямую MN
. Обозначим \frac{NK}{NM}=\alpha
. Тогда
\overrightarrow{NK}=\alpha\overrightarrow{NM}=\alpha\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)=\frac{2}{3}\alpha\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\alpha\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\alpha\overrightarrow{z},
\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NK}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)+\alpha\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)=
=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\alpha\right)\overrightarrow{x}+\left(1-\frac{2}{3}\alpha\right)\overrightarrow{y}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\alpha\right)\overrightarrow{z}.
Поскольку CK\perp NM
, скалярное произведение векторов \overrightarrow{CK}
и \overrightarrow{NM}
равно нулю, т. е.
\left(\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\alpha\right)\overrightarrow{x}+\left(1-\frac{2}{3}\alpha\right)\overrightarrow{y}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\alpha\right)\overrightarrow{z}\right)\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{y}+\frac{1}{3}\overrightarrow{z}\right)=
=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\alpha\right)a^{2}-\frac{2}{3}\left(1-\frac{2}{3}\alpha\right)a^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\alpha\right)a^{2}=
=\left(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\alpha\right)-\frac{2}{3}\left(1-\frac{2}{3}\alpha\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\alpha\right)\right)a^{2}=0,
откуда находим, что \alpha=\frac{1}{3}
. Значит,
\overrightarrow{CK}=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}\right)\overrightarrow{x}+\left(1-\frac{2}{9}\right)\overrightarrow{y}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\right)\overrightarrow{z}=\frac{5}{9}\overrightarrow{x}+\frac{7}{9}\overrightarrow{y}+\frac{4}{9}\overrightarrow{z}.
Следовательно,
CK^{2}=\overrightarrow{CK}^{2}=\left(\frac{25}{81}+\frac{49}{81}+\frac{16}{81}\right)a^{2}=\frac{90}{81}a^{2},~CK=\frac{a\sqrt{10}}{3}.