7266. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно равны.
Решение. Необходимость. Пусть ABCD
— тетраэдр, в котором грани — равные разносторонние треугольники со сторонами a
, b
и c
. Причём AB=c
, AC=b
и BC=a
. Тогда CD=c
, так как в противном случае либо треугольник ABD
, либо BDC
был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично, BD=AC=b
и AD=BC=a
.
Если грани — равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно.
Достаточность. Если противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то грани тетраэдра равны по трём сторонам.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.