7267. Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед, т. е. описанный параллелепипед равногранного тетраэдра — прямоугольный.
Указание. У полученного параллелепипеда каждая грань — параллелограмм с равными диагоналями.
Решение. Докажем сначала, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны.
Пусть ABCD
— тетраэдр, в котором грани — равные разносторонние треугольники со сторонами a
, b
и c
. Причём AB=c
, AC=b
и BC=a
. Тогда CD=c
, так как в противном случае либо треугольник ABD
, либо BDC
был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично, BD=AC=b
и AD=BC=a
.
Если грани — равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно.
Перейдём к нашей задаче. У полученного параллелепипеда каждая грань — параллелограмм с равными диагоналями, т. е. прямоугольник. Следовательно, параллелепипед — прямоугольный.
Примечание. 1. Очевидно, верно и обратное: если в результате указанного достроения тетраэдра получился прямоугольный параллелепипед, то тетраэдр — равногранный.
2. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.