7268. а) Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники. Докажите, что все грани равногранного тетраэдра — остроугольные треугольники.
б) Тетраэдр называется прямоугольным, если все плоские углы при одной из вершин — прямые. Докажите, что грань, противолежащая этой вершине, — остроугольный треугольник.
Решение. а)
Первый способ. Заметим, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть в тетраэдре ABCD
известно, что AB=CD=c
, BC=AD=b
и AC=BD=a
; \angle ACB=\gamma
.
Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Получим прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого равны a
, b
и c
. Обозначим BL=x
, BM=y
, BK=z
. Тогда по теореме Пифагора
x^{2}+y^{2}=a^{2},~y^{2}+z^{2}=b^{2},~x^{2}+z^{2}=c^{2},
откуда a^{2}+b^{2}-c^{2}=2y^{2}
. Значит,
\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{2y^{2}}{2ab}=\frac{y^{2}}{ab}\gt0.
Следовательно, \gamma\lt90^{\circ}
. Аналогично для остальных углов треугольника. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Предположим, что какой-то плоский угол трёхгранного угла равногранного тетраэдра при одной из вершин не меньше 90^{\circ}
. Тогда сумма двух других плоских углов при этой вершине больше 90^{\circ}
(см. задачу 7428). Значит, сумма трёх плоских угол при этой вершине больше 180^{\circ}
. Поскольку тетраэдр равногранный, сумма этих трёх углов — это сумма углов каждой грани тетраэдра, следовательно, она должна быть равна 180^{\circ}
. Противоречие.
б) Пусть плоские углы при вершине D
тетраэдра ABCD
— прямые, DA=a
, DB=b
, DC=c
. Тогда
AB^{2}=DA^{2}+DB^{2}=a^{2}+b^{2},~BC^{2}=b^{2}+c^{2},~AC=a^{2}+c^{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{a^{2}+b^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-c^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{2a^{2}}{2AB\cdot AC}\gt0.
Следовательно, \angle BAC\lt90^{\circ}
. Аналогично для остальных углов треугольника ABC
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.59, с. 115
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.49, с. 106