7269. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда его развёртка на плоскость грани есть треугольник.
Решение. Необходимость. Пусть развёртка равногранного тетраэдра ABCD
на плоскость грани ABC
состоит из треугольников ABC
, D_{1}BC
, D_{2}AC
и D_{3}AB
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Поскольку противоположные рёбра равногранного тетраэдра попарно равны, в равных треугольниках ABC
и D_{1}CB
равны углы ACB
и CBD_{1}
. Значит, \angle CBD_{1}=\angle ACB=\gamma
. Аналогично, \angle ABD_{3}=\angle BAC=\alpha
. Следовательно,
\angle D_{1}BD_{3}=\angle CBD_{1}+\angle CBA+\angle ABD_{3}=\gamma+\beta+\alpha=180^{\circ}.
Поэтому точка B
лежит на отрезке D_{1}D_{3}
(причём B
— середина D_{1}D_{3}
). Аналогично докажем, что точка C
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, а точка A
— на отрезке D_{2}D_{3}
. Следовательно, развёртка тетраэдра ABCD
на плоскость грани ABC
есть треугольник D_{1}D_{2}D_{3}
.
Достаточность очевидна.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.