7270. Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180^{\circ}
. Докажите, что все грани тетраэдра равны (т. е. тетраэдр — равногранный).
Решение. Пусть суммы плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
равны по 180^{\circ}
. Тогда развёртка тетраэдра на плоскость грани ABC
есть треугольник D_{1}D_{2}D_{3}
, причём точки A
, B
и C
— середины его сторон, а значит, отрезки AB
, BC
и AC
— его средние линии.
Пусть указанная развёртка состоит из треугольников ABC
, BCD_{1}
, CAD_{2}
и ABD_{3}
. Тогда
BD=BD_{1}=AC,~AD=AD_{2}=BC,~CD=CD_{1}=AB,
т. е. противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Следовательно, все его грани равны между собой (признак равенства треугольников по трём сторонам).
См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.