7271. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Докажите, что существуют ровно два тетраэдра, в которых эти отрезки соединяют середины противоположных рёбер.
Указание. Постройте параллелепипед, центры граней которого являются концами данных отрезков.
Решение. Пусть отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке O
и делятся этой точкой пополам. Через точки A
и A_{1}
проведём плоскости, параллельные прямым BB_{1}
и CC_{1}
, через точки B
и B_{1}
— плоскости, параллельные прямым AA_{1}
и CC_{1}
, через точки C
и C_{1}
— плоскости, параллельные прямым AA_{1}
и BB_{1}
. Получим три пары параллельных плоскостей. Их пересечения образуют параллелепипед. Концы скрещивающихся диагоналей противоположных граней этого параллелепипеда являются вершинами искомого тетраэдра. Значит, по крайней мере два таких тетраэдра существуют. Докажем теперь, что их ровно два.
Возьмём тетраэдр, в котором данные отрезки соединяют середины противоположных рёбер, и достроим его до параллелепипеда, проведя пары параллельных плоскостей через противоположные рёбра. Рёбра этого параллелепипеда параллельны данным отрезкам, а его грани проходят через их концы. Следовательно, этот параллелепипед однозначно определяется данными отрезками, а до одного и того же параллелепипеда достраиваются ровно два тетраэдра.