7274. Радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра, равен 1. Найдите ребро тетраэдра.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Достройте данный правильный тетраэдр до куба, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (описанный параллелепипед). Поскольку противоположные рёбра правильного тетраэдра равны и перпендикулярны, построенный параллелепипед — куб. Сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра, вписана в этот куб. Значит, ребро куба равно диаметру сферы, т. е. 2, а ребро тетраэдра равно диагонали грани куба, т. е. 2\sqrt{2}
.