7275. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны a
, b
и c
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
.
Указание. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида с вершиной D
, причём DA\perp AB
, DA\perp AC
и AB\perp AC
. Достройте прямоугольный треугольник ABC
до прямоугольника ABMC
, а затем пирамиду ABCD
— до прямоугольного параллелепипеда, проведя через вершины B
, C
и M
прямые, перпендикулярные плоскости ABC
.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида с вершиной D
, причём DA\perp AB
, DA\perp AC
и AB\perp AC
, DA=a
, AB=c
и AC=b
. Тогда прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ABC
, поэтому прямая AD
перпендикулярна плоскости ABC
, т. е. DA
— высота пирамиды.
Достроим прямоугольный треугольник ABC
до прямоугольника ABMC
, через вершины B
, C
и M
проведём перпендикуляры к плоскости ABC
, а через вершину D
проведём плоскость, параллельную плоскости ABC
. Получим прямоугольный параллелепипед ABMCDKLN
(AD\parallel CN\parallel ML\parallel BK
). Сфера, описанная около этого параллелепипеда, проходит через точки A
, B
, C
, D
, поэтому она описана и около данной пирамиды ABCD
. Её центр O
— точка пересечения диагоналей параллелепипеда, а радиус R
равен половине диагонали прямоугольного параллелепипеда. Следовательно,
R=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.